「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 045

No.16313　対数変換後データの変動係数(CV)　　【釣吉】　2012/02/01(Wed) 14:30

対数正規分布する変量xの変動係数CVと，メタメータy=ln xの標準偏差との間には
CV^2＝exp(残差平均平方)－1　の関係があるとされています。
ということは，常用対数変換データならば　
CV^2＝10＾(残差平均平方)－1　になると解釈してよいでしょうか。

http://d.hatena.ne.jp/kanekiyo/20081208/1228667542
には「生データのCVで近似できるのは，自然対数変換後のデータのSDです。」と記載されており，Sampleデータを上述の式で試しても，CV値は「生データ≒自然対数変換＞常用対数変換」になってしまいます。

常用対数変換データの個体内変動(残差変動)をCVで表現したく，質問させていただきました。
よろしくお願いします。

No.16319　Re: 対数変換後データの変動係数(CV)　　【通りすがり】　2012/02/02(Thu) 21:40

いま X を対数正規分布に従う変数，Y=log(X), Z=log10(X) とすると，

CV(X)^2 = exp{σ(Y)^2}-1
　　　　　　= exp{σ(Z)^2*log(10)^2}-1

ということでしょう。

exp{σ(Z)^2*log(10)^2} = 10^{σ(Z)^2*log(10)}
です。念のため。

No.16327　Re: 対数変換後データの変動係数(CV)　　【釣吉】　2012/02/03(Fri) 12:54

レスポンスありがとうございます。
上述の式については，もう少し理解できるようします。

生データが対数正規分布する場合，常用対数変換でも自然対数変換でも，分散分析の結果及び信頼区間を真値に変換したとき，いずれも等価の結果が得られますが，生データのCVを推定する場合のCV＝√(exp(残差平均平方)-1)は自然対数変換の場合に適用されるものと理解しました。
常用対数変換データにおけるCVを推定したかったのですが，残差平均平方値を自然対数での残差平均平方に変換してから，CV＝√(exp(残差平均平方)-1)を適用することにしました。

No.16338　Re: 対数変換後データの変動係数(CV)　　【通りすがり】　2012/02/04(Sat) 09:07

　常用対数での分散に log(10)^2 ≒ 2.3026^2 をかけるだけなんですがね？

　なお，生データの CV と √{exp(自然対数での分散)-1} とは異なる場合があると考えられますので，この方法を利用する場合は注意が必要です。
　生データから直接 CV を求めるべきでしょう。できればですが。

No.16358　Re: 対数変換後データの変動係数(CV)　　【釣吉】　2012/02/06(Mon) 09:01

＞常用対数での分散に log(10)^2 ≒ 2.3026^2 をかけるだけなんですがね？

ご指摘のとおり，ln(10)＾2をかけて自然対数での残差平均平方に変換します。
提示していただいたCV(X)^2 = exp{σ(Z)^2*log(10)^2}-1のlog(10)はln(10)の意味だといまわかりました。

＞生データの CV と √{exp(自然対数での分散)-1} とは異なる場合があると考えられますので・・・

近似値として考えます。アドバイス有難うございました。