「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 045

No.17245　相関係数と標準化偏回帰係数　　【toshi】　2012/07/24(Tue) 13:58

お忙しい中，すみません。統計学初学者ですが，業務上，必要に迫られて勉強中の身です。以下の事柄につきましてアドバイスをいただけるとありがたいです。
単回帰分析，Y=α+βXを考えます。変数を標準化して回帰式を求めると，標準化偏回帰係数が求まりますが，これは相関係数と同じ値になると思います。母相関係数の分布に対して標本相関係数の標本分布を求めるときに使うFisherのz変換という近似法がありますが，例えば標本相関係数が0.98・・あたりの分布をみると，左右対称ではなくなり，z変換を施すと正規分布に近くなります。同様のことをさきほどの標準化偏回帰係数について見てみますと，標本偏回帰係数が1/-1に近いところでの標本分布は相関係数と同様の分布になります。ここで偏回帰係数のt検定を行う場合，Fisherのz変換を行ってから検定をするほうが，より精度が高くなると言えるのでしょうか？
また，「統計学入門（東京大学教養学部統計学教室編）」のp.267の13.3.1 「偏回帰係数の標本分布」の3行目に「標本偏回帰係数βhat2は，正規分布に従っている誤差項εiの線形関数であるのでその標本分布はふたたび正規分布となる」と書かれているのですが，上記の標準化偏回帰係数の場合にはどう捉えればよろしいのでしょうか？
基本的な誤解があるかもしれず恐縮なのですが，よろしくお願い致します。

No.17246　Re: 相関係数と標準化偏回帰係数　　【青木繁伸】　2012/07/24(Tue) 14:28

268ページに「(13.15) は自由度 n-2 の t 分布 t(n-2) に従う」と書いてありますが?

> 偏回帰係数のt検定を行う場合，Fisherのz変換を行ってから検定をするほうが，より精度が高くなると言えるのでしょうか？

そういうことはしないでしょう。

No.17247　Re: 相関係数と標準化偏回帰係数　　【toshi】　2012/07/24(Tue) 17:10

お忙しい中，ご回答ありがとうございました。
βhat2の標本分布が左右対称でないときに，（13.15）のようにt分布に従うようになるのは何故かと思っていたのですが，統計ツールで実験してみたところ，（13.15）の分母のs.e.（βhat2）の分布が作用して正規分布になる様子が分かりました。
初歩的な質問ですみませんでした。