「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 047

No.21227　同じ誕生日の人がいる人の人数　　【scdent】　2014/07/28(Mon) 10:21

「何人集まればその中に同じ誕生日の人がいる確率が50%を超えるか?」は下記に式があり，23人ということがわかります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%95%E7%94%9F%E6%97%A5%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9

そこで，どなたかに教えていただきたいのです。

n人の中で，同じ誕生日の人がいる人の数の期待値は，どのような計算式で得られるでしょうか。
例えば100人の中で，同じ誕生日の人はAさんとBさんだけの場合は2人で，AさんとBさんが同じでCさんとDさんも同じで他は皆違う場合は4人と数えます。

どうか，よろしくお願いします。

No.21234　Re: 同じ誕生日の人がいる人の人数　　【scdent】　2014/07/31(Thu) 15:20

この問題を解くには，2人のみが同日の場合，3人のみが同日の場合，・・・・・，n人全てが同日の場合というように場合分けが必要で，さらにその中でも例えば4人の場合，2人2人と4人というようにさらに場合分けしなくてはならず，とても難解であることがわかってきました。
お忙しい中ご迷惑をお掛けしました。お詫びします。

No.21263　Re: 同じ誕生日の人がいる人の人数　　【scdent】　2014/08/19(Tue) 11:42

N人中，同じ誕生日の人がいる人の人数の期待値を，意外と簡単に?算出できました。
ご希望の方がいらっしゃいましたらUpしますので，ご検討ください。

No.21267　Re: 同じ誕生日の人がいる人の人数　　【青木繁伸】　2014/08/20(Wed) 16:50

どうぞ，投稿してください。

No.21271　Re: 同じ誕生日の人がいる人の人数　　【scdent】　2014/08/21(Thu) 09:48

ありがとうございます。

まず，N人中のある人が残りの人と誕生日が異なる確率は，
(364/365)^(N-1)
となります。他の人と誕生日が異なる人の数の期待値はこれにN人を乗じて，
(364/365)^(N-1)xN
となります。

従ってN人中で，他の人と誕生日が同じ人がいる人の数の期待値は，
N-(364/365)^(N-1)xN
となります。

やや疑いながらでしたが，シミュレーションで確認できたので正しいと思います。

参考に，性別も考慮に入れた場合は次のようになりました。
N-((2x365-1)/(2x365))^(N-1)xN

一度はあきらめていたのですが，頭の片隅でくすぶらせておいてよかったと思います。