「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 047

No.21888　pが小さくnが大きいときの標本の大きさについて　　【山口】　2015/12/28(Mon) 09:33

BSEの感染牛に関する問い合わせで，このような課題を解いてくれないかと言われました（ちなみに私は学生ではありませんし，成績に関係のある宿題でもありません）．

アメリカのBSE検査においてへたり牛を中心としたサーベイランスで感染牛を見つけるには，感染率が10万分の1としたときは，有意水準α＝0.05としたときは，何頭の牛を検査すればよいのか．

pが小さく，nが大きいのでポアソン分布に従うと思うのですが，ポアソン分布に従う標本の大きさはどのように求めればよいのかわかりません．

一方，直感的に統計的に有意に検査をするためには，nは十分大きくとる必要がありますので，結果的に二項分布に近似することになるのかなとも思います．

アドバイスをいただければと思います．

No.21889　Re: pが小さくnが大きいときの標本の大きさについて　　【鈴木康弘】　2015/12/31(Thu) 07:00

http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Hiritu/bohiritu-test.html

「母不良率が 3% であるはずの生産工程から，製品 20 個を取り出したとき，不良品が 2 個あった。母不良率が 3% から変化しているかどうか検定しなさい。」

という問題の応用で解けるのでは？

No.21890　Re: pが小さくnが大きいときの標本の大きさについて　　【scdent】　2016/01/08(Fri) 12:00

この問題について，まずポアッソン分布は比率が小さいときの二項分布の近似ですから二項分布で考えたので十分です。
上の回答のように，応用すれば解決できるかもわかりませんが，命題が不明確なので質問に対する適切な回答は期待できないかと思われます。

そこで，命題を次のように仮定するとします。

「10万分の1の確率で発現するBSE牛を，95%の確率で少なくとも1頭検出するために必要な調査頭数は何頭か」

すると，ある1頭がBSEでない確率は，1-1/100000=0.99999 ですから，n頭調べてたときにn頭ともBSEでない確率は，
0.99999^n です（^nはn乗です）。
従って，n頭調べたときに，少なくとも1頭はBSEである確率は，
1 - 0.99999^n
となりますから，この確率を95%にして，
1 - 0.99999^n = 0.95
を解けば，10万分の1の確率で発現するBSE牛を95%の確率で少なくとも1頭検出するために必要な調査頭数nが求まります。
移行して，
0.99999^n = 0.05
となりますから，299572頭を調査することが必要になります。

一方，命題を「10万分の1で発現するBSE牛を，母比率0%に対して有意水準片側5%で検定したとき，95%の検出力で検出する（=統計学的に有意となる）ために必要な調査頭数は何頭か」としたとき，先に求めた299572頭が，まさに，この必要な調査頭数と一致します。

わかりやすくするために勝手に命題を変更しましたが，抽出条件や検査条件次第では，必要な頭数の考え方も大幅に減少できるものと考えられます。

ある企業で安全性関連部署への配属を希望しましたが面接で安全性について「そんなことする気はもうとう無い」と言われて安全性についての仕事が断たれ，また原発や安保法案など世間の情勢からみても，安全性についての考え方に納得できない者として回答してみました。