統計学の教科書を読んでいると，$\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i$ という書き方がよく出てくる。

　この書き方は「式 $X_{i}$ の中の $i$ を 1 から始めて 1 ずつ増加させ，$i$ が $n$ になるまで，$X_{i}$ の和をとる」ことを意味している。

　つまり，$\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i = X_1+X_2+\cdots +X_n$ のことである。

　和を取るものを表す式（上の例では $X_{i}$ ）が複雑な形をしていても，本来の意味を表すように書き改めるとなんということはないものである。

　$a$ が定数で，$X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ があるとき，

\[ \sum_{i=1}^n X_i = a\ X_1 +a\ X_2 + \cdots a\ X_n = a\ (X_1 + X_2 + \cdots X_n) = a\sum_{i=1}^n X_i \]

　$n$ 個のデータ，$X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ があるとき，平均値 $\bar{X}$ は以下のように定義される。

\[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i}{n} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots X_n}{n} \]

　$n$ 個のデータ，$X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ があるとき，分散は以下のように定義される。

　上の平均値の定義も利用して，左辺から右辺を導きなさい。

\[ V = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 = \frac{X_1^2 + X_2^2 + \cdots X_n^2}{n}-\bar{X}^2 \] 　答え